요동-소모 정리(fluctuation-dissipation theorem)

1. Brownian motion 의 운동 방정식으로 모델링 시도

  가. 가우스 백색 소음

    아래 네 가지 성질을 만족하는 힘 $f(t)$를 가우스 백색 소음(Gaussian white noise)이라 한다.

$$\overline{f(t)} =0 , \overline{f(t)f(t')}=2 \pi \Gamma \delta (t-t') $$

$$\langle f(t) \rangle =0  , \langle f(t) f(t') \rangle = 2\pi\Gamma \delta (t-t') $$

이 때, $\langle f(t)\rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty}\overline{f(t)}p^{eq}(v_0 ) dv_0 $ 이고, 여기에서 $p^{eq}(v_0)$ 는 속도가 $v_0$인 맥스웰 분포를 의미한다.

 

  나. 가우스 백색 소음만 작용하고 일차원 운동만 가능한 물체의 운동 방정식의 해 구하기

    방정식은 아래와 같다.

    $$m \dot{v} = \sqrt{ \Gamma} f(t)$$

   이제 이 방정식의 해를 구해보자

$$ \dot{v} = {{\sqrt{\Gamma}} \over {m}} f(t) \Rightarrow v(t) = v_0 + {{\sqrt{\Gamma}}\over{m}} \int_{0}^{t} dt' f(t') $$

이 때 $v_0$은 초기 속력이다. 우리의 목표는 가우스 백색 소음을 통해 구한 속력-온도의 관계와 맥스웰 속력 분포를 통해 구한 속력-온도 관계가 같음을 확인하는 것이다. 그럼 먼저 $v(t)$의 평균$\overline{v(t)}$을 구해보자.

$$\overline{v(t)}= v_0 + {{\sqrt{\Gamma}}\over{m}} \int_0^t dt' \overline{f(t')} = v_0$$

여기에서 $v_0$은 초기 속력으로 주어진 상수이기 때문에 평균을 취해도 값은 동일하다. 또한 $\langle f(t) \rangle =0 $이기 때문에 평균의 적분값은 0이 된다.

이제는 $\overline{(v(t))^2}$ 을 구해보자

$$\begin{align} \overline{(v(t))^2} & = v_0^2 + 2 v_0 {{\sqrt{\Gamma}}\over m} \int_0^t dt' \overline{f(t') } + {\Gamma \over m^2}\int_0^t dt_1 \int_0 ^t dt_2 \overline{f(t_1)f(t_2)} \\ &= v_0^2 + {\Gamma \over m^2}\int_0^t dt_1 \int_0 ^t dt_2 \overline{f(t_1)f(t_2)} \\ &= v_0^2 + {\Gamma \over m^2}\int_0^t dt_1 = v_0^2 + {\Gamma \over m^2} t \end{align}$$

이 결과는 물리적인 결과가 아니다. 왜냐하면 시간이 지남에 따라 $\overline{{v(t)}^2}$의 값이 계속 증가하기 때문이다. 따라서 위의 방정식을 조금 수정해야 한다. 

 

 

2. Brownian motion 의 운동 방정식으로 모델링 완성 - Langevin Equation

1절 에서 확인한 운동 방정식에 익숙한 항을 추가해보자. 이 물체가 유체 속에 있어서 속도와 질량에 비례하는 저항($m \gamma v$)을 받으면서 가우스 백색 소음($f(t)$)에 영향을 받는 상황을 가정하자. 그러면 이 물체의 운동 방정식은 아래와 같다.

$$m \dot{v} = - m \gamma v + \sqrt{\Gamma} f(t) $$

이 방정식을 우리가 랑주뱅 방정식(Langevin Equation)이라 부른다. 

 

 

3. Langevin Equation의 해 구하기

$$v(t) = v_0 e^{-\gamma t} + {\sqrt{\Gamma}\over m} \int_0 ^t dt' e^{-\gamma (t-t') } f(t') $$

따라서 1절에서 확인했던 것처럼 $\overline{v(t) }$ 와 $\overline{(v(t))^2}$ 을 확인해보자.

$$\overline{v(t)} = v_0 e^{-\gamma t} $$

$\overline{v(t)}$는 1절의 원리와 마찬가지로 쉽게 확인할 수 있다. 

$$\begin{align} \overline{(v(t))^2} &= v_0 ^2 e^{-2 \gamma t}+ {\Gamma \over m^2} \int_0^t dt_1 \int_0^t dt_2 e^{-\gamma (t-t_1)} e^{-\gamma (t-t_2) } \overline{f(t_1 ) f(t_2)} \\ &= v_0 ^2 e^{-2 \gamma t}+ {\Gamma \over m^2} \int_0^t dt_1 \int_0^t dt_2 e^{-\gamma (t-t_1)} e^{-\gamma (t-t_2) } \delta (t_1 - t_2)\\ &= v_0 ^2 e^{-2 \gamma t}+ {\Gamma \over m^2} \int_0^t dt_1 e^{-2\gamma t}e^{2\gamma t_1} \\ &= v_0 ^2 e^{-2 \gamma t}+ {\Gamma \over m^2} e^{-2\gamma t} {1 \over {2\gamma}} \left [e^{2\gamma t}\right]_0^t \\ &= v_0 ^2 e^{-2 \gamma t}+ {\Gamma \over m^2} e^{-2\gamma t} {1 \over {2\gamma}} (e^{2\gamma t}-1) \\ &= v_0 ^2 e^{-2 \gamma t}+ {\Gamma \over {2\gamma m^2}} (1- e^{-2\gamma t}) \\ &= {\Gamma \over {2m^2 \gamma}} + \left(v_0 ^2 - {\Gamma \over {2m^2 \gamma}}\right) e^{-2\gamma t } \end{align}$$

 

만약 $t \rightarrow \infty$ 인 상황이라면 $\overline{(v(t))^2} \rightarrow {\Gamma \over {2m^2 \gamma}}$ 이다.

 

이제는 맥스웰 분포를 통해 $\langle (v(t))^2 \rangle$ 을 구해보자

$$\begin{align} \langle (v(t))^2 \rangle & = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{{v(t)}^2} p_{\mathrm{eq}}(v_0 ) d v_0 \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{{v(t)}^2} \left( m \over{2 \pi k_{\mathrm{B}} T } \right)^{1/2} e^{-m v_0^2 / 2k_{\mathrm{B}}T } d v_0 \\ &= {\Gamma \over {2m^2 \gamma}} + \left({k_{\mathrm{B}}T \over m} - {\Gamma \over{2m^2 \gamma}} \right)e^{-2\gamma t} \end{align}$$

이 값이 시간 $t$에 의존하지 않으려면 괄호 안의 값이 $0$이면 된다. 그러므로 $\Gamma = 2 m \gamma k_{\mathrm{B}}T $이다. 이 관계를 요동-소모 관계 또는 요동-소모 정리라 부른다. 그리고 우리가 익히 알고 있는 속력 제곱의 평균값은 다음과 같다. $\langle (v(t))^2 \rangle = {k_{\mathrm{B}}T \over m }$

 

 

4. power spectrum density 정의

$\xi(t)$ 를 랜덤 과정(random process)( 정상 상태(stationary))라 하자. 그러면 함수 $\phi_\xi (t)$ 를 아래와 같이 정의한다.

$$\phi_\xi (t) = \langle \xi(t_0) \xi(t_0 +t) \rangle = \langle \xi(0) \xi(t) \rangle$$

그런 다음 아래와 같은 식을 고려하자

$$\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi T} \left|\sum_{k=1}^{N} e^{i \omega t_k}\xi(t_k) \Delta t_k \right|^2 $$

$T \rightarrow \infty$ 이므로 부분합은 적분으로 대체할 수 있다. 이것을 우리는 파워 스펙트럼 밀도(power spectrum density)라 부른다.

$$S_{\xi}(\omega) \mathop{\overset{\mathrm{def}}{=}} \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi T} \left| \int_{0}^{T} dt e^{i \omega t}\xi(t) \right|^2$$

또한 $\phi_\xi (t) $의 성질은 다음과 같다

$$\begin{align} \phi_\xi (t) &= \langle \xi(0) \xi(t) \rangle \\ &= \langle \xi(-t) \xi(0) \rangle \\ &=\langle \xi(0) \xi(-t) \rangle \\ &= \phi_\xi (-t)  \end{align}$$

 

또한 Wiener-Khinchin 정리 에 따라 아래과 같은 식이 성립한다. 

$$S_{\xi} (\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dt e^{i \omega t} \phi_{\xi} (t) $$

 

 

 

5. random force $f(t)$에 의한 power spectrum density 구하기

$$\begin{align} S_{f(t)}(\omega) &= \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^{\infty} dt e^{i \omega t } \langle f(0) f(t) \rangle \\ &= \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^{\infty} dt e^{i \omega t } 2\pi\Gamma \delta (t) \\ &= \Gamma = 2 m \gamma k_{\mathrm{B}}T \end{align}$$