0. BE/논문스터디 (12) 썸네일형 리스트형 요동-소모 정리(fluctuation-dissipation theorem) 1. Brownian motion 의 운동 방정식으로 모델링 시도 가. 가우스 백색 소음 아래 네 가지 성질을 만족하는 힘 $f(t)$를 가우스 백색 소음(Gaussian white noise)이라 한다. $$\overline{f(t)} =0 , \overline{f(t)f(t')}=2 \pi \Gamma \delta (t-t') $$ $$\langle f(t) \rangle =0 , \langle f(t) f(t') \rangle = 2\pi\Gamma \delta (t-t') $$ 이 때, $\langle f(t)\rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty}\overline{f(t)}p^{eq}(v_0 ) dv_0 $ 이고, 여기에서 $p^{eq}(v_0)$ 는 속도가 $v_0.. Quantum mechanics a modern development(5) 1.4 힐버트 공간과 장식된 힐버트 공간 선형 벡터 공간은 스칼라 덧셉과 스칼라 곱셈에 닫힌 구성 요소의 집합으로서 1.1절에서 정의됐다. 같은 차원의 모든 유한-차원 공간은 동형이지만 무한-차원 공간 사이에는 몇 가지 구별이 필요하다. 벡터 기저 $\{\phi_n : n= 1,2,\ldots \}$ 의 무한 정규 직교 집합을 고려하자. 따라서 기저 벡터의 모든 가능한 유한 선형 결합을 만듦으로써 선형 벡터 공간 $V$를 만들 수 있다. 그러므로 $V$는 형태 $\psi =\sum_n c_n \phi_n$의 모든 벡터를 구성한다. 이 때 합계는 어떤 유한한 항의 수를 포함할 수 있다. 공간 $V$ 는 수렴 무한 급수의 합과 같은 수렴 무한 수열 벡터의 극한점을 추가하여 확대할 수 있다. 그러나 먼저 벡터.. Quantum mechanics a modern development(4) $$\begin{equation} c_1^* \langle F | + c_2^* \langle F | \leftrightarrow c_1 | F\rangle + c_2| F\rangle \label{1.8} \end{equation}$$ 1.3 자기 수반 연산자 연산자 $\hat{A}$ 가 그것의 수반 연산자 $\hat{A}^\dagger$ 와 같다면 자기 수반이라고 부른다. 이것은 다음을 만족한다. $$\begin{equation} \langle \phi | \hat{A} | \psi \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \phi \rangle^* \label{1.21}\end{equation}$$ 그리고 $\hat{A}$의 정의역(다른 말로는 $\hat{A} \phi$가 잘 .. 논문 핵심 문장 만들기 1. 무한퍼텐셜 우물에서 드브로이 파는 양자화 되어 있는가? (No) 1) 양자화되어 있지 않다. 왜냐하면 드브로이 파($\lambda = {h \over p }$) 의 관계로 연결된 운동량($p$)의 고윳값 분포는 양자화되어 있지 않기 때문이다. ( 여기에서 드브로이 파장의 연산자 $\hat{\lambda}$ 라고 표현 하지는 않고, 운동량의 연산자$\hat{p}$ 의 고윳값 중 하나 $p_0$가 측정된다면 그 측정값의 역수에 $h$를 곱한 값 $\lambda_0 = {h \over p_0}$으로 드브로이 파장을 이해해야 한다.) 2) 다시 말하자면 운동량($p$)의 고윳값 분포는 $p= C \times n \quad (n= 1,2,3,\ldots)$ ($C$는 상수) 등의 제한 조건이 없다. 3) 그.. Quantum mechanics a modern development(3) 1장 수학적 전제들 1.2 선형 연산자 벡터 공간 위의 연산자는 벡터에서 벡터로의 맵(map)이다. 만약 $A$ 는 연산자이고 $\psi$는 벡터이면 $\phi=A\psi$는 다른 벡터이다. 연산자는 공간(또는 이것의 연산자가 의미있게 작용할 수 있는 전체 공간보다 작아야 하는 부분 공간으로 불리는 정의역)의 모든 벡터에 대해 작용하여 완전히 정의된다. 선형 연산자는 다음을 만족한다. $$\begin{equation} A(c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2 ) = c_1 (A\psi_1 ) +c_2 (A\psi_2 ) \label{1.9} \end{equation}$$ 모든 벡터는 기저 벡터의 선형 결합으로써 표현할 수 있기 때문에 이것은 기저 벡터의 집합 위에 선형 연산자로 정의하기 충분하다. .. Quantum mechanics a modern development(2) 1장 수학적 전제 조건들 어떤 수학적 주제들은 계산의 도구뿐 아니라 이론이 체계화 할 수 있는 가장 효과적인 언어를 형성하기 때문에 양자 역학에서 필수적이다. 이 주제들은 선형 벡터 공간과 선형 연산자 이론 그리고 확률 이론을 포함한다. 양자 역학과 선형 대수학 사이의 연결은 슈뢰딩거 방정식의 선형 특성의 명백한 부산물에서 비롯했다. 그러나 이론은 곧 단순한 시작을 넘어서 $N$ 개의 입자의 $3N$ 차원 구성 공간에 추상적인 "파동 함수"를 포함하고 파동 운동과 관련이 없는 스핀과 같은 개별 내부 자유도를 포함하도록 일반화 되었다. 이러한 모든 다양한 경우에 공통적인 구조는 벡터 공간에서 선형 연산자의 구조이다. 이 수학적 구조에 기초한 통합 이론은 P.A.M. 디락에 의해 처음 구조화 되었으며 이 책.. Quantum mechanics a modern development(1) 양자 역학 현대 개정 - Leslie E. Ballentine 주석--- 01. 임의의 연산자 $\hat{A}$에 대해 아래의 식이 성립한다. $$\begin{equation} \hat{A} \psi (\mathbf{x}) = \langle \mathbf{x} | \hat{A} | \psi \rangle \label{4.1}\end{equation}$$ 02. $x_{\alpha}$ ($\alpha =1,2,3$) 에 는 각각의 위치를 의미한다고 하면 운동량 연산자는 아래와 같다. $$\begin{equation} \hat{P} = -i \hbar \nabla , \hat{P_{\alpha}}= -i \hbar {\partial \over \partial x_{\alpha}}\label{4.3} \end.. 무한 퍼텐셜 우물에서 운동량 고윳값과 운동량 고유함수(5) 수학자를 위한 양자 역학 9장 9.6 반례 이 절에서, 대칭적이지만 본질적 자기 수반은 아닌 연산자의 기초 예제를 조사할 것이다. 우리의 예제는 본질적으로 유한 구간("잘못된" 경계 조건을 가진)(더 복잡한 예제는 9.10절에서 주어진다.)에서 운동량 연산자이다. 힐버트 공간을 $L^2([0,1])$으로 취하자. 명제 9.27 $[0,1]$ 위의 연속적으로 미분 가능한 함수 $f$의 공간을 $\mathrm{Dom}(\hat{A}) \in L^2 ([0,1])$ 라 하고, 모든 $\psi \in \mathrm{Dom}(\hat{A})$에 대해 다음을 만족한다. $$\psi(0) = \psi(1) =0$$ 아래와 같이 대칭적이지만 본질적 자기 수반은 아닌 $\hat{A}$를 정의할 수 있다. $$\hat{A.. 무한 퍼텐셜 우물에서 운동량 고윳값과 운동량 고유함수(4) 3.3 위치와 위치 연산자 먼저 실제선 위에 움직이는 하나의 입자를 생각하자. 입자의 파동 함수는 사영 $\psi : \mathbb{R^1} \rightarrow \mathbb{C}$ 이다. 이 사영이 시간에 따라 진행(evolve)하기 때문에 지금은 시간을 고정하여 생각하자. 이 함수 $|\psi (x)|^2$은 입자의 위치에 대한 확률 밀도이다. 이것은 입자의 위치가 어떤 집합 $E \subset \mathbb{R^1}$에 속할 확률이 아래와 같다는 것을 의미한다. $$ \int_{E} | \psi (x) |^2 dx $$ 이 기술이 의미가 있으려면 $\psi$는 아래처럼 규격화되어야 한다. $$\begin{align} \int_{\mathbb{R}} | \psi (x) |^2 dx =1 \label.. 무한 퍼텐셜 우물에서 운동량 고윳값과 운동량 고유함수(3) 수학자들을 위한 양자 이론 3.2 연산자와 그것의 수반에 대한 몇 가지 언급 본 게시글 에서는 $\mathbf{H}$ 는 $\mathbb{C}$ 위에서 힐버트 공간으로 표현되고 언제나 분리 가능한 것으로 간주된다. 모든 $\phi, \psi \in \mathbf{H}$ 이고 모든 $\lambda \in \mathbb{C}$ 에서 아래의 식이 성립한다. $$ \langle \phi , \lambda \psi \rangle = \lambda \langle \phi , \psi \rangle \qquad \langle \lambda \phi , \psi \rangle = \bar{\lambda} \langle \phi, \psi \rangle $$ 모든 $\psi \in \mathbf{H}$ 에 대해서 $\l.. 무한 퍼텐셜 우물에서 운동량 고윳값과 운동량 고유함수(2) 2. 이론적 고찰 2) 양자역학의 이론 체계 가. 6개의 가설 나. representation 가) 불연속적 Basis $|m \rangle$로 representation 하기 $$|\psi \rangle = \sum_{m} |m \rangle \langle m| \psi \rangle $$ 나) 연속적 Basis $|q \rangle$로 representation 하기 $$|\psi \rangle = \int {dq |q \rangle \langle q| \psi \rangle} $$ 다. 위치 연산자와 공간 이동 생성원 -> CCR 가) 위치 연산자 위치 연산자 $\hat{x}$를 상태 $ | x \rangle $에 작용했을 때 고윳값 $x_0$이 나오고 그 상태는 변하지 않을 때 우리는 $x_0$와.. 무한 퍼텐셜 우물에서 운동량 고윳값과 운동량 고유함수(1) 1. 문제제기 한국 중고등 교육과정 물리학 교과서에서 무한 퍼텐셜 우물 문제는 양자 역학을 이해하고 적용하는 기초적인 상황이다. 이 상황에서는 에너지의 고윳값과 에너지 고유함수를 구하는 것을 목적으로 하고 있으며, 그 결과 에너지가 양자화 되어 있다는 결론을 얻는다. 그리고 대부분의 교과서에서 드브로이의 가설($ p = \hbar k $)을 적용한 운동량 개념을 포함하여 문제를 해결한다. 하지만, 양자역학의 기본 설명체계로 무한 퍼텐셜 우물의 운동량 고윳값과 고유 함수에 대해 설명하는 책은 드물며, 있다고 하더라도 책의 내용이 부실하다. 따라서 무한 퍼텐셜 우물에서 운동량의 고윳값과 고유함수를 설명하고자 한다. 2. 이론적 고찰 1) 무한 퍼텐셜 우물 문제에서 에너지 고윳값과 고유함수 구하기(상자 안의 .. 이전 1 다음
